miércoles, 29 de julio de 2015

ANÁLISIS DE LA COMPLEJIDAD DE MÉTODOS DE ORDENACIÓN Y SU IMPLEMENTACIÓN

La tarea de la programación esta ligada al objetivo de obtener algoritmos que resuelvan un problema con la mayor eficiencia posible; de hecho es sorprendente comprobar las múltiples formas como podemos resolver un mismo problema y las ventajas que conseguimos , en términos de eficiencia , al buscar soluciones alternativas a las ya conocidas o consideradas como evidentes.
Para comparar y analizar la eficiencia de los algoritmos , estos los consideramos escritos en un lenguaje de programación de alto nivel , pero aun empleando la misma representación , establecer una medida precisa de la eficiencia de un algoritmo no es fácil.En efecto , fijémonos en que una definición de eficiencia podría ser el numero de instrucciones que tiene el programa ; sin embargo esto no se correspondería , con el concepto intuitivo que tenemos de eficiencia(según el cual,el algoritmo mas eficiente seria aquel que tardase menos tiempo en resolver el problema sobre una misma maquina), dado que todas las instrucciones no utilizan el mismo tiempo de procesador aun realizando la misma función.

MÉTODOS DE ORDENACIÓN:
En computación y matemáticas un algoritmo de ordenamiento es un algoritmo que pone elementos de una lista o un vector en una secuencia dada por una relación de orden, es decir, el resultado de salida ha de ser una permutación  o reordenamiento de la entrada que satisfaga la relación de orden dada. Los ordenamientos eficientes son importantes para optimizar el uso de otros algoritmos (como los de búsqueda y fusión) que requieren listas ordenadas para una ejecución rápida. También es útil para poner datos en forma canónica y para generar resultados legibles por humanos.



MÉTODO DE ORDENAMIENTO BURBUJA:

Este es uno de los métodos de ordenamiento mas usados .aunque no de los mas eficaces.
Consiste en recorrer la lista de valores a ordenar y compararlos dos a dos.Si los elementos están bien ordenados, pasamos al siguiente , hasta llegar al final de la lista.El proceso completo se repite hasta que la lista este ordenada.




Algoritmo:
DESDE I=1 hasta N-1 hacer
    DESDE J=1 hasta N-1 hacer
          Si v[J]>V[J+1] entonces
                Aux= V[J]
                V[J]=V[J+1]
                V[J+1]=Aux
           FIN SI
     FIN DESDE
FIN DESDE

Análisis de Complejidad:











El ciclo interno se ejecuta n veces para una lista de n elementos. El ciclo externo también se ejecuta n veces. Es decir, la complejidad es n * n = O(n2). El comportamiento del caso promedio depende del orden de entrada de los datos, pero es sólo un poco mejor que el del peor caso, y sigue siendo O(n2).

Implementación
public int burbuja(int[] arreglo)
    {  
        int aux,num_intercambios=0;  
        for(int i=1;i <  arreglo.length;i++)
        {  
            for (int j=0 ; j <  arreglo.length- 1; j++)
            {  
                if (arreglo[j] > arreglo[j+1])
                {  
                    aux = arreglo[j];  
                    arreglo[j] = arreglo[j+1];  
                    arreglo[j+1] = aux;  
                    num_intercambios++;
                }  
            }  
        }  
        //Nos retorna el numero de operaciones que hace referencia a la complejidad
        //Si desea obtener la lista de valores ordenados , recuperar este valor a través de un método get
        return num_intercambios;
    }  

MÉTODO DE ORDENACIÓN INSERCIÓN:
La idea de este algoritmo de ordenación consiste en ir insertando un elemento de la lista o un arreglo en la parte ordenada de la misma, asumiendo que el primer elemento es la parte ordenada, el algoritmo ira comparando un elemento de la parte desordenada de la lista con los elementos de la parte ordenada, insertando el elemento en la posición correcta dentro de la parte ordenada, y así sucesivamente hasta obtener la lista ordenada. Para explicarlo mejor nos basaremos en el siguiente enunciado:
“Para cada elemento de la lista después del primero, comparar los elementos con los anteriores desplazando una posición a la derecha a todos los elementos anteriores que cumplan con la comparación y luego colocar el elemento en la posición del último elemento anterior desplazado.”

Algoritmo:
for (i=1; i<TAM; i++)
      aux = array[i];
      j = i - 1;
      while ( (array[j] > aux) && (j >= 0) )
          array[j+1] = array[j];
           j--;
      array[j+1] = aux;

Análisis de la Complejidad:


Para una lista de n elementos el ciclo externo se ejecuta n-1 veces. El ciclo interno se ejecuta como máximo una vez en la primera iteración, 2 veces en la segunda, 3 veces en la tercera, etc. Esto produce una complejidad O(n2).

Implementación:
//METODO DE ORDENACION : INSERCION
    public int Insercion(int[] array){
        int aux,num_intercambios=0;
        for (int i = 1; i <  array.length; i++) {
            aux = array[i];
            for (int j = i-1; j   > =0 && array[j]  > aux; j--) {
                array[j+1]=array[j];
                array[j]=aux;
                num_intercambios++;
            }
        }
        //Nos retorna el numero de operaciones que hace referencia a la complejidad
        //Si desea obtener la lista de valores ordenados , recuperar este valor a través de un método get
return num_intercambios; }

MÉTODO DE ORDENACIÓN QUICKSORT:


Sin duda, este algoritmo es uno de los más eficientes. Este método es el más rápido gracias a sus llamadas recursivas, basándose en la teoría de divide y vencerás.
Lo que hace este algoritmo es dividir recursivamente el vector en partes iguales, indicando un elemento de inicio, fin y un pivote (o comodín) que nos permitirá segmentar nuestra lista. Una vez dividida, lo que hace, es dejar todos los mayores que el pivote a su derecha y todos los menores a su izquierda Al finalizar el algoritmo, nuestros elementos están ordenados.
Por ejemplo, si tenemos 3 5 4 8 básicamente lo que hace el algoritmo es dividir la lista de 4 elementos en partes iguales, por un lado 3, por otro lado 4 8 y como comodín o pivote el 5. Luego pregunta, 3 es mayor o menor que el comodín? Es menor, entonces lo deja al lado izquierda Y como se acabaron los elementos de ese lado, vamos al otro lado. 4 Es mayor o menor que el pivote? Menor, entonces lo tira a su izquierda. Luego pregunta por el 8, al ser mayor lo deja donde está, quedando algo así: 3 4 5 8.
En esta figura se ilustra de mejor manera un vector con más elementos, usando como pivote el primer elemento:


Algoritmo

// Inicialización de variables
    elem_div = lista[sup];
    i = inf - 1;
    j = sup;
    cont = 1;
    
    // Verificamos que no se crucen los límites
    if (inf >= sup)
          retornar;
    
    //  Clasificamos la sublista
    while (cont)
          while (lista[++i] < elem_div);
          while (lista[--j] > elem_div);
         if (i < j)
              temp = lista[i];
              lista[i] = lista[j];
              lista[j] = temp;
         else
              cont = 0;
   
   // Copiamos el elemento de división
   // en su posición final
    temp = lista[i];
    lista[i] = lista[sup];
    lista[sup] = temp;
   
   // Aplicamos el procedimiento
   // recursivamente a cada sublista
    OrdRap (lista, inf, i - 1);
    OrdRap (lista, i + 1, sup);

Análisis de la Complejidad:

Caso promedio: La complejidad para dividir una lista de n es O(n). Cada sublista genera en promedio dos sublistas más de largo n/2. Por lo tanto la complejidad se define en forma recurrente como:
f(1) = 1
f(n) = n + 2 f(n/2)
La forma cerrada de esta expresión es:
f(n) = n log2n
Es decir, la complejidad es O(n log2n).
El peor caso ocurre cuando la lista ya está ordenada, porque cada llamada genera sólo una sublista (todos los elementos son menores que el elemento de división). En este caso el rendimiento se degrada a O(n2). 
Implementación

//METODO DE ORDENACION: QUICKSORT
    public  int ordenacionRapida(int[] v) {
        final int N = v.length;
        quicksort(v,0,N-1);
        return num_intercambios_qs;
    }
 
    public void quicksort(int A[], int izq, int der) {
    int pivote=A[izq]; // tomamos primer elemento como pivote
    int i=izq; // i realiza la búsqueda de izquierda a derecha
    int j=der; // j realiza la búsqueda de derecha a izquierda
    int aux;

    while(i< j){            // mientras no se crucen las búsquedas
       while(A[i]< =pivote && i< j) i++; // busca elemento mayor que pivote
       while(A[j] > pivote) j--;         // busca elemento menor que pivote
       if (i< j) {                      // si no se han cruzado                      
           aux= A[i];                  // los intercambia
           A[i]=A[j];
           A[j]=aux;
       }
       num_intercambios_qs++;
        
     }
     A[izq]=A[j]; // se coloca el pivote en su lugar de forma que tendremos
     A[j]=pivote; // los menores a su izquierda y los mayores a su derecha
     if(izq< j-1)
        quicksort(A,izq,j-1); // ordenamos subarray izquierdo
     if(j+1 < der)
        quicksort(A,j+1,der); // ordenamos subarray derecho
    }
    

MÉTODO DE ORDENACIÓN MERGESORT:
Este algoritmo consiste básicamente en dividir en partes iguales la lista de números y luego mezclarlos comparándolos, dejándolos ordenados.
Si se piensa en este algoritmo recursivamente, podemos imaginar que dividirá la lista hasta tener un elemento en cada lista, luego lo compara con el que está a su lado y según corresponda, lo sitúa donde corresponde.
En la siguiente figura podemos ver cómo funciona:



Análisis de la Complejidad:












La complejidad para dividir una lista de n es O(n). Cada sublista genera en promedio dos sublistas más de largo n/2. Por lo tanto la complejidad se define en forma recurrente como:
f(1) = 1
f(n) = n + 2 f(n/2)
La forma cerrada de esta expresión es:
f(n) = n log2n
Es decir, la complejidad es O(n log2n).




Implementación:

//METODO DE ORDENACION: MERGESORT     
    public int MergeSort(int a[], int iMin, int iMax) 
    {
        mergeSort (a,iMin,iMax) ;
        return num_intercambios_ms;
    }
    public void mergeSort (int a[], int iMin, int iMax) 
    {
        // Caso Base
    if(iMin  >= iMax) 
        {
            return;
    }
    // Cortamos para aplicar mergeSort recursivamente
    int k = (iMin+iMax) / 2;
    mergeSort(a, iMin, k);
    mergeSort(a, k+1, iMax);
    // Utilizamos un arreglo temporal
    int l = iMax-iMin+1;
    int temp[] = new int[l];
    for(int i = 0; i <  l; i++)
        {
        temp[i] = a[iMin+i];
        }
    // Mezclamos
    int i1 = 0;
    int i2 = k-iMin+1;
    for(int i = 0; i <  l; i++) 
        {
            if(i2 < = iMax-iMin) 
            {
                if(i1 < = k-iMin) 
                {
                    if(temp[i1]  > temp[i2]) 
                    {
                        a[i+iMin] = temp[i2++];
                    }
                    else
                    {
                        a[i+iMin] = temp[i1++];
                    }
                }
                else
                {
                    a[i+iMin] = temp[i2++];
                }
                
                num_intercambios_ms++;
            }
            else 
            {
                a[i+iMin] = temp[i1++];
                
                num_intercambios_ms++;
            }
        }
    }

MÉTODO DE ORDENACIÓN HEAPSORT


Este algoritmo consiste en almacenar todos los elementos del vector a ordenar en un montículo (heap), y luego extraer el nodo que queda como nodo raíz del montículo (cima) en sucesivas iteracciones obteniendo el conjunto ordenado. Basa su funcionamiento en una propiedad de los montículos, por la cual, la cima contiene siempre el menor elemento (o el mayor, según se haya definido el montículo) de todos los almacenados en él. El algoritmo, después de cada extracción, re coloca en el nodo raíz o cima, la última hoja por la derecha del último nivel. Lo cual destruye la propiedad heap del árbol. Pero, a continuación realiza un proceso de "descenso" del número insertado de forma que se elige a cada movimiento el mayor de sus dos hijos, con el que se intercambia. Este intercambio, realizado sucesivamente "hunde" el nodo en el árbol restaurando la propiedad montículo del árbol y dejando paso a la siguiente extracción del nodo raíz.


Análisis de Complejidad:





Implementación:


 // METODO DE ORDENACION: HEAP SORT
    public int ordenacionMonticulos(int[] v) 
    {
        final int N = v.length;
        for(int nodo = N/2; nodo >=0; nodo--) hacerMonticulo(v, nodo, N-1);
        for(int nodo = N-1; nodo >=0; nodo--) {
            int tmp = v[0];
            v[0]    = v[nodo];
            v[nodo] = tmp;
            hacerMonticulo(v, 0, nodo-1);
        }
        return num_intercambios_hs;
    }
    public void hacerMonticulo(int[] v, int nodo, int fin)
    {
        int izq = 2*nodo+1;
        int der = izq+1;
        int may;
        if(izq >fin) return;
        if(der >fin) 
        {
            may=izq;  
            num_intercambios_hs++;
        }
        else
        {
            if(v[izq] >v[der])
                may= izq;
            else
                may=der; 
            num_intercambios_hs++;
        }
        if(v[nodo] <  v[may]) 
        {
            int tmp = v[nodo];
            v[nodo] = v[may];
            v[may]  = tmp; 
            num_intercambios_hs++;
            hacerMonticulo(v, may, fin); 
            num_intercambios_hs++;
        }
    }
Fuente Teóricas: Wikipedia, algunos documentos de Prezzi, apuntes de Clase.
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Hola, me llamo Andrés.Soy egresado de la carrera de Ingeniería Informática en la Universidad Nacional de Trujillo (Perú).Me considero autodidacta de corazón ,amante del mundo de la programación, software libre y hacking ético

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